TEST BANK FOR Functions of One Complex Variable I By Andreas Kleefeld

1 The Complex Number System 1
1.1 The real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The field of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 The complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Polar representation and roots of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Lines and half planes in the complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 The extended plane and its spherical representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Metric Spaces and the Topology of C 9
2.1 Definitions and examples of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Sequences and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Elementary Properties and Examples of Analytic Functions 21
3.1 Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Analytic functions as mappings. Möbius transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Complex Integration 42
4.1 Riemann-Stieltjes integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Power series representation of analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Zeros of an analytic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 The index of a closed curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Cauchy’s Theorem and Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6 The homotopic version of Cauchy’s Theorem and simple connectivity . . . . . . . . . . . 63
4.7 Counting zeros; the Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.8 Goursat’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Singularities 68
5.1 Classification of singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 The Argument Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3
6 The Maximum Modulus Theorem 84
6.1 The Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 Schwarz’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Convex functions and Hadamard’s Three Circles Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 The Phragmén-Lindelöf Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7 Compactness and Convergence in the Space of Analytic Functions 93
7.1 The space of continuous functions C(G,
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Spaces of analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 Spaces of meromorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4 The Riemann Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.5 The Weierstrass Factorization Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.6 Factorization of the sine function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.7 The gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.8 The Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8 Runge’s Theorem 123
8.1 Runge’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Simple connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Mittag-Leffler’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9 Analytic Continuation and Riemann Surfaces 130
9.1 Schwarz Reflection Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.2 Analytic Continuation Along a Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.3 Monodromy Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4 Topological Spaces and Neighborhood Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.5 The Sheaf of Germs of Analytic Functions on an Open Set . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.6 Analytic Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.7 Covering spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10 Harmonic Functions 137
10.1 Basic properties of harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.2 Harmonic functions on a disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.3 Subharmonic and superharmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.4 The Dirichlet Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.5 Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11 Entire Functions 151
11.1 Jensen’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.2 The genus and order of an entire function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.3 Hadamard Factorization Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12 The Range of an Analytic Function 161
12.1 Bloch’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
12.2 The Little Picard Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.3 Schottky’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.4 The Great Picard Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4
Chapter